В этом разделе мы рассмотрим механическую часть обособленно от электрической части с целью изучения ее динамических свойств. Входным воздействием этой подсистемы будем считать электромагнитный момент M и задавать его независимой функцией времени. Переходные процессы в подсистеме, обусловленные изменением этого момента, называются механическими переходными процессами.

Принимая в качестве вектора состояния вектор Y^т =[ w ₁ M₁₂ w 2 ] , в качестве вектора управления - трехмерный вектор U^т = [ M M_c1 M_c2 ] и качестве выходных переменных сами переменные состояния , получим

Определим собственные числа матрицы A из характеристического уравнения подсистемы

det (p1-A)= det =0

Как видно, среди собственных чисел или корней характерис-тического уравнения подсистемы имеется один нулевой (p₁=0) и пара чисто мнимых корней вида

p₂₃= ± j

W ₀=, (6.1)

получим p_23=± jW ₀ и следовательно,

1. любой переходный процесс сопровождается незатухающими гармоническими колебаниями с частотой W ₀;
2. если частота изменения задающего воздействия совпадает с частотой W ₀, то в системе возникает резонанс, при котором амплитуды колебаний могут достигать бесконечности;
3. структурная схема механической подсистемы должна содержать идеальное интегрирующее и консервативное колебательное звенья.

Поскольку C^т=[ 1 1 1] , то

Нас будут интересовать передаточные функции каналов M® w ₁ и M® w ₂. Из полученной передаточной матрицы находим

Ww _1M(p)= w ₁(p)/M(p)= (6.2)

Ww _2M(p)= w ₂(p)/M(p)= (6.3)

Ww _1M(p)= (6.4)

Ww _2M(p)= (6.5)

Введем понятие соотношения масс g = (J₁+J₂)/J₁. Тогда выражение для передаточной функции Ww _1M(p) принимает вид

Ww _1M(p)= (6.6)

Последняя в соответствии с полученной передаточной функцией может быть представлена последовательным соединением интегрирующего звена, форсирующего звена второго порядка с сопрягающей частотой и консервативного колебательного звена с сопрягающей частотой w _с2=W _0. Ассимтотические ЛАЧХ двухмассовой механической подсистемы приведены на рис. 6.2

Амплитудно -частотная характеристика претерпевает разрыв на двух частотах и w _с2=W _0. . Низкочастотная ассимтота определяется интегрирующим звеном с коэффициентом передачи 1/JS и соответственно имеет наклон -20 дб/дек. Высокочастотная ассимптота (w і W ₀ ) также имеет наклон -20 дб/дек, но при коэффициенте передачи в g раз больше, чем в области низких частот.

В низкочастотной области сдвиг по фазе между колебаниями определяется интегрирующим звеном и составляет 90 град. При фазовый сдвиг уменьшается скачком на 180 град, т.е. достигает значения +90 град и на частоте w _с2=W _0. вновь принимает значение -90 град. в соответствии с высокочастотной ассимптотой ЛАХ.

Как видно, движение первой массы при небольших частотах колебаний управляющего воздействия M определяется суммарным моментом инерции JS , причем механическая часть ведет себя как интегрирующее звено. Иными словами, интегрирующее звено характеризует условия движения механической части в среднем.

При приближении частоты колебаний момента к резонансной амплитуда колебаний скорости w ₁ возрастает и при w ₌W 0 стремится к бесконечности. Однако проявления резонанса существенно зависят от параметров механической в связи с наличием в числителе передаточной функции Ww _1M(p) форсирующего звена второго порядка. Можно выявить условия, при выполнении которых влияние упругости на движение первой массы будет незначительным. К их числу относятся:

1. J₂< < J₁. При этом g ® 1 , полиномы в числителе и знаменателе передаточной функции сокращаются и передаточная функция системы определяется передаточной функцией интегрирующего звена, т.е.

Ww _1M(p)=1/ JS p

2. . W₀ >> w_ср , где w_ср - частота среза желаемой ЛАХ разомкнутого контура регулирования, При этом условии в области малых и средних частот движение первой и второй массы определяется тем же интегрирующим звеном. Отсюда вытекает важный практический вывод:

Если при синтезе ЭМС используются обратные связи только по переменным двигателя, то при J₂< < J₁ или W ₀> > w _ср , механическую часть ЭПС можно представлять жестким механическим звеном, не учитывая влияния упругости.

На рис. 6.3 представлены ЛФЧХ подсистемы с выходной переменной w ₂ и полученной выше передаточной функцией (6.5)

Эта передаточная функция отличается от рассмотренной выше лишь числителем, который равен единице на всех частотах. Амплитудная характеристика имеет разрыв только на частоте W ₀ и в высокочастотной области стремится к ассимптоте с наклоном -60 дб/дек. Соответственно фазовый сдвиг между колебаниями стремится к величине -270 град.

В соответствии с выражением для Ww _2M(p) колебательность второй массы выше, чем первой. В низкочастотной области ЛАХ обоих систем совпадают, так как в среднем движение второй массы определяется тем же интегрирующим звеном. Однако при w > W ₀ наклон высокочастотной ассимптоты составляет -60 дб/дек и нет факторов, которые ослабляли бы развитие резонансных колебаний при любых g . Следовательно :

JS dw /dt= M- M_c,

где JS = J₁+J₂ и M_c= M_c1 + M_c2,

Если известен характер изменения момента двигателя и приведенного момента нагрузки с помощью указанного уравнения можно установить характер изменения скорости не прибегая к его решению. Механическая часть, представленная в виде жесткого звена, как отмечалось, отражает движение системы в среднем и не дает точного представления о характере движения упруго связанных масс. С целью выяснения этого влияния рассмотрим реакцию на скачок момента от 0 до M в двухмассовой системе при нулевых нагрузках M_c1 и M_c2 и нулевых начальных условиях.

Найдем вначале реакцию координаты w ₂ , используя ранее полученную передаточную функцию (6.5). Операторное изображение интересующей нас величины при M(p)= M/p равно

w ₂(p)= ,

где e _ср - среднее значения ускорения второй массы, B(p)=1 и

A(p)= p²[(1/W ₀²)p²+1] - полином с корнями p_1,2 =0 и p_3,4=± jW ₀

w ₂(t) = w ^‘(t) +w ^“(t),

Пользуясь модификацией формулы разложения для случая n кратных корней полинома знаменателя

w ^‘(t) =

w ^‘(t) =

w ^‘(t)= e _ср t.

Из курса математики известно, что пара комплексно сопряженных корней p_i,i+1 определяет во временной области составляющую решения вида

A’(p)=dA(p)/dp= -2jW ₀²

w ^“(t)= e _ср ґ 2Re = -(e _ср/W ₀) Sin W ₀t

w ₂(t) = w ^‘(t) +w ^“(t) = e _ср t -(e _ср/W ₀) Sin W ₀t

График зависимости w ₂(t) представлен на рис.6.5.. Видно, что скорость w ₂ (t) в среднем меняется по линейному закону с ускорением e _ср=M/JS и содержит незатухающую гармоническую составляющую с амплитудой e _ср/W ₀ и частотой W ₀ .

Ww _1M(p)= Ww _2M(p)+ ,

первое слагаемое которой является передаточной функцией Ww _2M(p).

Следовательно, решение w ₁(t) будет содержать три составляющие , две из которых w ^‘(t) и w"(t) нами уже найдены, а третье можно определить из выражения

w ^‘’’(t) =L^-1 { ґ M/p }

Принимая В(P)=1 и A’(p)= p(2/W ₀₁²) и при p=j/W ₀ A’(jW ₀)= 2j/W ₀, получим

Эта составляющая отмечена штриховой линией на уже рассмот-ренном рисунке. Она находится в противофазе с колебаниями w ^’’(t) и потому колебания скорости w ₁(t) меньше, чем w ₂(t). При прочих равных условиях колебания скорости w ₁(t) тем меньше, чем меньше J₂, а увеличение W ₀ при тех же ускорениях снижает амплитуды колебаний как первой, так и второй массы. Эти выводы полностью согласуются с результатами частотного анализа. Под действием сил внутреннего вязкого трения эти колебания в действительности являются затухающими во времени, однако время затухания достаточно велико.