ЛЕКЦИИ 10,11

ЛИНЕЙНЫЕ АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ И РЕГУЛЯТОРЫ

Поскольку основная задача регулятора - осуществлять регули-рующее воздействие с минимальной погрешностью, выбор и настройка этих устройств являются одной из наиболее важных проблем, стоящих перед инженером- электромехаником- разработчиком ЭМС.

Регулятор выполняет преобразование управляющего сигнала e(t), соответствующее математическим операциям, требуемым по условиям работы системы регулирования. К типовым требуемым операциям относятся следующие: пропорциональное, интегральное, пропорцио-нально-интегральное, пропорционально-дифференциальное, пропор-ционально-дифференциально-интегральное и т.п.

Рассмотрим более подробно функциональные связи между регу-лирующим воздействием и ошибкой, которые используются в ЭМС. Эти функциональные связи называются законами регулирования. При этом будем полагать, что объекты управления являются статическими.

1. Пропорциональное регулирование

В простейшем случае пропорциональное регулирование осуществляется с использованием в качестве регулятора пропорционального звена с коэффициентом передачи Kp, так что

u(t)= Kп e (t).

Передаточная функция регулятора таким образом имеет вид

Wп(p)=U(p)/ e (p)= Kп

Практически пропорциональный регулятор (П-регулятор) в боль-шинстве случаев реализуется на базе операционного усилителя с жесткой обратной связью по напряжению как показано на рис. 10.1.

Рис. 10.1.

Kп= - R2/ R1.

В пределах полосы пропускания ЛАЧХ П-регулятора параллельна оси частот (L(w )=20 lg Kп), фаза равна нулю (j(w)=0), реакция u(t) во времени повторяет входное воздействие e(t).

Пропорциональное регулирование имеет один существенный недостаток: при изменении нагрузки на элементах ЭПС и возмущающих воздействий не происходит возврата регулируемой переменной к заданной величине. Эта разность между заданным и истинным значением регулируемой величины представляет собой ошибку статизма. Величина этой ошибки прямо пропорциональна величине заданного и возмущающих воздействий и обратно пропорциональна коэффициенту передачи разомкнутой системы.

2.Интегральное регулирование

При интегральном регулировании осуществляется пропор-циональная зависимость между скоростью изменения регулирующего воздействия и ошибкой, т.е.

du/dt= Ки e (t).

Следовательно, регулирующее воздействие получается пропор-циональным интегралу от ошибки по времени

u(t)= Ки т e (t) dt

Передаточная функция регулятора определяется выражением

WR(p)=U(p)/e (p)= Ки /p =1/Тиp, где Ти=1/Ки

Аналоговый интегральный регулятор как правило реализуется на базе операционного усилителя с включением в цепь отрицательной обратной связи конденсатора, как показано на рис. 10.2.

Рис. 10.2.

Передаточная функция такого устройства может быть найдена как

Wи(p)= 1/ R1Cp=1/Tи p,

где Tи=R1C - постоянная времени интегрирующего звена, измеряемая в секундах. Сравнивая последнее выражение с исходным, установим что 1/Tи = Ки. .

Логарифмические амплитудно- и фазочастотные характеристики И-регулятора определяются выражениями

L(w )= 20 lg (1/ Tиw ), j (w )=-p /2

и представлены на рис. 10.3

Рис. 10.3.

Переходная характеристика регулятора представляет собой линейно-изменяющуюся функцию времени. Скорость изменения определяется коэффициентом передачи Ки.

Детализированная структурная схема И-регулятора представлена на рис.10.4.

Рис. 10.4.

Математическую модель И-регулятора составляют следующие уравнения

e = ; Uу= yи /Ти.

Этот регулятор обладает характерной особенностью: Выходная величина u неизменна только при нулевом отклонении регулируемой величины от заданного значения (при нулевой ошибке). Следовательно, установившийся режим в системе с И-регулятором может иметь место только при равенстве истинного и заданного значения регулируемой величины (при нулевой ошибке).

 

3. Пропорционально-интегральное (изодромное) регулирование

При изодромном регулировании осуществляется регулирование по пропорциональному и интегральному принципам, т.е.

u(t)=K1 e (t) + K2 т e (t) dt

Следовательно, изодромное регулирование призвано совместить высокую статическую точность интегрального регулирования с большим быстродействием пропорционального регулирования.

Часто уравнение ПИ-регулятора записывается в следующем виде

u(t)= Кп [ e + (1/ Ти) т e (t) dt ],

где Ки - коэффициент пропорциональности ПИ-регулятора, а Tи - время изодрома или время удвоения.

Последнему выражению соответствует следующая передаточная функция регулятора

Wпи(p)=

Такая передаточная функция в самом простом варианте может быть реализована на базе интегрального операционного усилителя в виде схемы (рис. 10.5)

Рис. 10.5.

Здесь: Tи = R2 C, сек и Kи= R2/R1

Следовательно, логарифмические амплитудно- и фазочастотные характеристики можно изобразить в виде рис.10.6

Рис. 10.6.

 

 Поскольку ПИ-регулятор можно представить в виде параллельно включенных П-регулятора с коэффициентом передачи Kп и И-регулятора с коэффициентом передачи Kп/Ти, реакция такого регулятора на единичный скачек ошибки или переходная характеристика может быть представлена в виде суммы реакций параллельных каналов, т.е

h(t)= h1(t) + h2(t) = Кп+(Кп/Ти)t

где h1(t)- реакция П-канала в виде скачка с амплитудой Kп , а h2(t)-реакция И-канала в виде линейно возрастающей функции времени. Причем за время Ти функция возрастает на величину Kп. Поэтому постоянную времени интегрирования Ти часто называют временем изодрома или временем удвоения . Сказанное иллюстрируется рисунком 10.7

Рис. 10.7.

 Детализированная структурная схема ПИ-регулятора представлена на рис.10.8.

Рис.10.8.

Математическую модель ПИ-регулятора составляют следующие уравнения

e = ; Uу= yи ( Кп/Ти) + Кпe .

 

 

4. Регулирование по производным

 

При регулировании по первой производной от ошибки осуществляется зависимость

u(t)= Kд de (t) / dt,

регулирующее воздействие (выходной сигнал регулятора) пропорционально скорости изменения ошибки. Это регулирование не имеет самостоятельного значения, т.к. в установившемся состоянии производная от ошибки равно нулю и регулирование пропадает. Однако оно может играть весьма большую роль в переходных процессах и вообще в динамике в качестве вспомогательного средства, так такое регулирование позволяет учитывать не только наличие ошибки, но и тенденцию к ее изменению (росту или уменьшению).

Логичным является формирование управляющего воздействия с учетом как самой ошибки, так и скорости ее изменения. Регулятор, реализующий такое управление носит название пропорционально- дифференциального или просто ПД- регулятора. Математически такой закон управления можно записать в виде

u(t)= Kпe (t) + Kд de (t) / dt,

что позволяет представить структурно ПД-регулятор в виде параллельного соединения П- и Д- регуляторов с суммированием их управляющих воздействий.

В результате введение регулирование по производной от ошибки увеличивает скорость реакции системы регулирования, то есть повышает ее быстродействие, что приводит к снижению ошибок в динамике.

Часто передаточную функцию ПД-регулятора записывают в виде

Wпд(p)= Kп+ Кдp= Kп(T1p+1)

Логарифмические амплитудно и фазочастные характеристики такого регулятора имеют вид

Рис.10.9.

 У идеального ПД-регулятора при воздействии единичной ступенчатой функции на его вход в момент времени t=0 на выходе появляется d - функция, имеющая известное аналитическое выражение

ж Ґ при t=0

d (t)= н

и 0 при t№ 0

Аналитическое переходная характеристики идеального ПД-регулятора рассчитывается по формуле

h(t)= Kп [ 1 + d (t) ] ,

а график ее представлен на рисунке 10.10.

Рис.10.10.

Формально ПД-регулятор может быть реализован на базе интегрального операционного усилителя по схеме рис.10.11

Рис.10.11.

 где Kп= - R2/ R1 и T1=R1C, сек.

Однако работа данной схемы сопровождается значительными высокочастотными помехами, для которых конденсатор C представляет собой сопротивление близкое к нулю. Для повышения устойчивости работы ПД-регулятора последовательно с конденсатором включается дополнительный резистор R3 с небольшим сопротивлением, которое ограничивает токи высокочастотных помех. Этот резистор на рисунке показан штриховой линией.

При наличии такого резистора передаточная функция регулятора приобретает вид

,

где T1=(R1+R3)C, сек и T2=R3C, сек.

Таким образом регулятор приобретает инерционное звено первого порядка, что искажает амплитудно - и фазочастотную характеристику, как показано на рисунке 10.12.

Рис.10.12.

ЛАХ претерпевает излом на частоте w =1/ T2 и фаза стремится к нулю при стремлении частоты к бесконечности. Естественно искажается и переходная характеристика регулятор- всплеск, соответствующий t=0, становится конечным и по амлитуде и по длительности. При стремлении R3 к нулю ЛАХ стремятся к ЛАХ идеального ПД-регулятора, но практически никогда их не достигают. Проблема уменьшения влияния дополнительной инерционности возникает всегда при реализации ПД-закона регулирования на аналоговой элементной базе.

Детализированная структурная схема ПД-регулятора представлена на рис.10.13.

Рис.10.13.

 Математическую модель ПИ-регулятора составляют следующие уравнения

= e - yи /Т2;

Uу= yи [ (Кп/Т2)- (Кп Т1/Т22 )] + Кпe Т1/Т2.

В некоторых случаях в закон регулирования могут вводиться производные более высоких порядков -вторая, третья и т.д. Это призвано улучшить динамические характеристики системы, однако техническая реализация введения производных выше второго порядка встречает значительные трудности.

Системы с ПД-регуляторами являются статическими и, следова-тельно, им свойственны с позиции статики все те же свойства и недостатки, что и для систем П-регуляторами. Устранение их достигается ведением регулирования по ПИД-закону.

 

 

5. ПИД-регулирование

 

Регулирующее воздействие, формируемое ПИД-регулятором пропорционально ошибке , скорости изменения ошибки и интегралу от ошибки, т.е.

u(t)= K1e (t) + K3 de (t) / dt+ K2 т e (t)

Более распространенной в литературе является следующая форма записи ПИД-закона регулирования

u(t)= Кп [ e + (1/Tи) т e (t) dt+ Tд de (t) / dt],

причем величина Tд, характеризующая степень введения производной в закон регулирования, называется временем предварения. В динамическом отношении эти регуляторы подобны системе из трех параллельно включенных звеньев: пропорционального, интегрирующего и дифференцирующего. При Tд=0 регулятор превращается в ПИ регулятор. Если, кроме того, Tи® Ґ , то получим П-регулятор.

Передаточная функция ПИД-регулятора может быть получена как

Wпид(p)= Kп + Kп/ Tи p + KпTд p =

Если на параметры Kп ,Tи и Tд наложить ограничение Тиі 10 Тд,

то указанная передаточная функция может быть преобразована к виду

Wпид(p)= . (5.1)

Этой передаточной функции соответствуют ЛАХ и ЛФХ, приведенные на рисунке 10.14.

Рис.10.14.

Аналитическое выражение переходной функции регулятора содержит три слагаемых (по числу составляющих реакции), т.е.

h(t)= Kп [ 1 + Tд d (t) + t/Tи] ,

Этому выражению соответствуют временные зависимости, представленные на рис. 10.15.

Рис.10.15.

 отличающаяся от соответствующей зависимости для ПИ-регулятора наличием всплеска в момент времени t=0 бесконечно большой амплитуды (теоретически) с площадью, определяемой величиной Tд.

Одна из множества возможных реализаций ПИД-регулятора на базе интегрального операционного усилителя представлена схемой на рис. 10.16.

Рис.10.16.

Передаточную функцию реализованного таким образом регулятора получим следующим образом

Z2(p)= R2 +1/ C2p=

Z1(p)=

W(p)=

Следовательно: Кп= R2/R1; Ти=R2C2, с ; Тд=R1C1, с.

Для снижения уровня помех на выходе регулятора и повышения устойчивости его работы последовательно с конденсатором С1 может быть включен дополнительный резистор R3 с небольшим сопротивлением, как это делалось в схеме с ПД-регулятором. Этот резистор точно таким же образом влияет на все динамические характеристики регулятора.

При наличии дополнительного резистора R3 передаточная функция регулятора описывается выражением

Wпид(p)= ,

где Tv = R3C1; Tд= (R3+R1)C1; Tи=R2C2; Кп=R2/R1.

С учетом инерционности, неизбежно появляющейся при реализации ПИД- регулятора, передаточную функцию последнего запишем в виде

WR(p)=Uу(p)/e (p)= .

где Тv- постоянная времени дополнительного инерционного звена или

WR(p)=Uу(p)/e (p)=

Используя известный метод прямого программирования составим структурную схему системы в переменных состояния (рис.10.17)

Рис.10.17.

где yp2 и yp1 - выходные координаты (переменные состояния) интеграторов модели ПИД-регулятора.

Уравнения состояния ПИД-регулятора примут при этом вид

=

= e - (1/Tv)

uу= (Кп/Тv Ти.)yp1+ (Кп/Тv )+ (КпТд/Тv ).

или

=

= e - (1/Tv)

uу = yp1+ - + e