2

2. Электрические поля постоянных токов

2.1 Основные уравнения

От электрических полей, создаваемых неподвижными зарядами, перейдем к рассмотрению стационарного движения зарядов в проводниках (постоянный электрический ток).

Основным вектором, который подлежит исследованию, является вектор плотности тока проводимости (или ). Силовые линии вектора плотности тока проводимости подчиняются закону непрерывности, который является следствием первого уравнения Максвелла:

. (2.1)

Выражение (2.1) называют ещё первым законом Кирхгофа, записанным в дифференциальной форме. Движение зарядов осуществляется за счёт действия напряженности электрического поля , а связь между векторами устанавливается законом Ома в дифференциальной форме:

, (2.2)

где - удельная проводимость среды. В ряде случаев вместо проводимости среды используют обратную величину - r = 1¤g , которую называют удельным сопротивлением среды.

В единичном объёме (или точке) выделяется мощность в виде тепла – (закон Джоуля – Ленца):

Электрическое поле, существующее внутри проводника, по которому течет постоянный ток, удовлетворяет уравнению

, (2.3)

т.е. поле постоянного тока - потенциально, и может быть определено потенциальной функцией:

. (2.4)

В однородном проводнике = const и из (2.1) как следствие имеем . Поэтому в этом случае потенциал электрического поля также удовлетворяет уравнению Лапласа (1.5).

Граничные условия для векторов поля.

На границе раздела двух проводящих сред нормальная компонента плотности электрического тока является непрерывной функцией, что следует из выражения (2.1). Кроме того, согласно общему условию непрерывности тангенциальной компоненты напряженности поля (1.6) как следствие из (2.2) имеем условие для тангенциальных составляющих вектора . Таким образом, граничные условия для плотности тока записываются как:

, (2.5)

или для напряженности поля

, . (2.6)

На границе проводника с непроводящей средой , т.е. силовые линии вектора плотности тока определяются только тангенциальной составляющей тока, что следует из выражения (2.5).

2.2. Метод электростатической аналогии

Уравнения (2.1) - (2.4) и граничные условия (2.5) обнаруживают формальную аналогию с уравнениями электростатического поля в диэлектриках, отличаясь от них лишь заменой на . Это обстоятельство позволяет находить решения задач о распределении тока в проводящей среде непосредственно по решениям аналогичных электростатических задач (см. 1.3 – 1.6). В частности, формулы для электрической проводимости системы электродов, по которым протекает ток, могут быть получены из соответствующих формул для емкости тех же электродов, так как при изменении проводящей среды диэлектриком ток заменяется зарядом. Объединяя эти выражения, получим пропорцию

Это рассмотрение позволяет утверждать, что существует аналогия между электростатическим полем вне объёмных зарядов и стационарным полем постоянного тока в области, где нет сторонних сил. При этом аналогичны параметры:

Электростатическое поле . . . E , j , D , q , , C

Стационарное поле . . . . . . . . E , j , J , I , g , G

Для расчёта поля проводов с током I вблизи плоской границы двух проводящих сред можно применить метод отражений (см. раздел 1.5). Дополнительные токи, заменяющие своим действием взаимное влияние проводящих сред друг на друга, находятся из аналогичных условий:

, . (2.7)

Из выражений (2.7) следует, что коэффициент отражения будет равен единице, если первая среда проводник, вторая диэлектрик (= 0), а электрод, с которого стекают заряды, находится в первой среде. Коэффициент здесь не рассматривается, так как в диэлектрике отсутствуют токи проводимости.

2.3. Задача растекания тока в проводящей среде

Задача. К сферическому заземлителю (электроду) радиуса м подводится ток А (рис. 2.1а). Заземлитель находится на расстоянии h = 6 м от границы раздела двух сред с разными удельными проводимостями (См/м) и (См/м). Исследовать картину поля.

а) б) в)

Рис. 2.1. а) взаимное расположение шарового источника тока и двух проводящих сред; б) физическая модель анализа поля тока для 1-й среды;

в) то же для 2-й среды.

Задача решается методом отражений с учетом метода электростатической аналогии. Поле растекания токов обладает осевой симметрией (нет зависимости от угловой координаты), поэтому вместо декартовой системы координат принята цилиндрическая система - z, r.

Для расчета поля в 1-й среде вводится, кроме тока , фиктивный ток согласно (2.7):

При этом вторая среда замещается первой (см. рис. 2.1б). Для расчета поля во 2-й среде вводится фиктивный ток

а первая среда замещается второй (см. рис. 2.1в).

Поле сферического заземлителя подобно полю шарового заряда, что позволяет воспользоваться выражением (1.20), в котором заряд заменяется на ток , а диэлектрические свойства среды на проводимость :

Построим картину поля в пакете MathCAD. В поле рабочего файла указываем исходные данные задачи:

Вычисляем входящие в решение постоянные коэффициенты:

Определяем длины радиус-векторов до точек наблюдения, для чего предварительно следует выбрать систему координат (произвольно). В задаче начало отсчёта переменных r, z смещено влево на расстояние 3h:

Определяем функции потенциала в первой и второй средах используя метод наложения:

Определяем потенциал поверхности заземлителя (электрода):

Определяем потенциальную функцию для всего исследуемого пространства с учетом её поведения в первой и второй средах:

Так как на поверхности и внутри электрода потенциал постоянен и определяется ранее найденной величиной , окончательно доопределим потенциальную функцию как

Построим график изменения потенциальной функции вдоль оси z при r = 0, для чего предварительно зададим диапазон изменения переменной z:

График изменения потенциальной функции показан на рис. 2.2. Исследуемая функция непрерывна, включая границу раздела сред. Равенство потенциалов на границе эквивалентно выполнению граничного условия (2.6).

Построим график поверхности потенциальной функции и карту линий уровня, которая задана нами ранее как функция двух переменных, для чего указываем границы расчетной области:

Рис. 2.2. График изменения потенциальной функции вдоль оси z при r = 0

Определяем, сколько точек следует отложить по координатным осям:

Введением дискретных аргументов i и j индексируем точки, где определяются значения функции:

Через операцию присваивания определяем значения двумерного массива , определяя его найденной потенциальной функцией ,

и строим график поверхности потенциальной функции (рис. 2.3).

При использовании массива для построения карты линий равного уровня следует скопировать график поверхности (рис. 2.3) или сразу на нем однократно щелкнуть правой кнопкой мыши, выбрать из всплывшего контекстного меню команду “Format…”. Далее в появившемся окне 3-D Plot Format подраздел General (рис. 1.16) следует сменить тип графика с Surface Plot на Contour Plot.

Для построения карты линий равного уровня можно использовать как массив (рис. 2.4а), так и воспользоваться встроенной функцией CreateMesh (рис. 2.4б):

Рис. 2.3. Пример построения поверхности потенциальной функции (Surface Plot)

Полученные графики (рис. 2.4) полностью идентичны. В большинстве случаев использование функции CreateMesh более удобно, так как в этом случае (по умолчанию) размерность осей в абсолютных единицах – метрах (рис. 2.4б), а на рис. 2.4а – определяется ранее заданным числом расчетных точек по координатным осям (по оси z определено 80 точек, по оси r - 40).

а) б)

Рис. 2.4. Карты линий равного уровня потенциальной функции, построенные с применением: а – массива , б - функции CreateMesh

Если значения функции на линиях уровня, при типе графика Contour Plot, не выведены, то следует вызвать окно 3-D Plot Format, выбрать подраздел Special, столбец Contour Options, активировать пункт Numbered – щелкнув в квадратике рядом с ним (появится галочка) и далее “Применить” (рис. 1.17). Нажатие кнопки ОК завершает операцию.

Для построения в MathСAD линии уровня заданного значения следует определить заданную величину как постоянную и воспользоваться встроенной функцией знака sign. В качестве примера построим для определенной ранее потенциальной функции эквипотенциаль со значением 2 кВ:

При малом числе расчетных точек полученная эквипотенциальная кривая может иметь ступенчатый вид (рис. 2.5а), в этом случае следует увеличить число расчетных точек. При увеличении числа расчетных точек в 5 раз по сравнению с предыдущим случаем:

получим более приемлемый вид эквипотенциальной кривой (рис. 2.5б).

а) б)

Рис. 2.5. Примеры построения заданной линии равного уровня с малым (а) и с увеличенным (б) числом расчетных точек

Используя возможности пакета MathСAD, найдем с помощью оператора дифференцирования (панель Calculus (рис. 1.11), вызывается через меню View/Toolbars/Calculus) производные от потенциальной функции, которые (с учётом знака) равны проекциям вектора напряженности поля:

На рис. 2.6 и 2.7 приведены примеры построения графиков изменения компонент напряженности вдоль различных осей, из которых видно, что нормальная составляющая вектора на границе раздела сред изменяется скачком в соответствии с граничным условием (2.6) и изменяет знак при переходе с левого края электрода на правый.

Рис. 2.6. График изменения z-компоненты напряженности вдоль оси z при r = 0

Рис. 2.7. График изменения r-компоненты напряженности вдоль оси r по границе раздела проводящих сред (z = 3h)

Составляющие вектора плотности тока могут быть найдены по формуле (2.2)

с учетом удельной проводимости каждой из сред.

В отличие от вектора (рис. 2.6) вектор плотности тока на границе раздела обладает свойством непрерывности (рис. 2.8), так как оба этих вектора для переменной r = 0 определены только своими нормальными составляющими (см. формулы 2.5 и 2.6).

Рис. 2.8. График изменения z-компоненты плотности тока

вдоль оси z при r = 0